【題目】已知為等差數(shù)列,前項(xiàng)和為,是首項(xiàng)為的等比數(shù)列,且公比大于,,,.
(1)求和的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和,求不超過的最大整數(shù).
【答案】(1),;(2);(3).
【解析】
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意得出關(guān)于的方程,求出的值,可得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可得出關(guān)于和的方程組,求出這兩個量,然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后利用錯位相減法可求出該數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)求出,可得出,然后利用分組求和法與裂項(xiàng)求和法求出,可得出,由此可得出不超過的最大整數(shù).
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為.
由已知,得,而,.
又,解得,.
由,可得 ①,
由,可得 ②,
聯(lián)立①②,解得,,由此可得.
數(shù)列的通項(xiàng)公式為,數(shù)列的通項(xiàng)公式為;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,
由,,有,
,
,
上述兩式相減,得.
得,數(shù)列的前項(xiàng)和為;
(3)由(1)知:,則.
,
,
,因此,不超過的最大整數(shù)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
(1)求以橢圓C的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程;
(2)過橢圓C的左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求的面積;
(3)過定點(diǎn)的直線交橢圓C于AB兩點(diǎn),求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸為正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的極坐標(biāo)方程為 ,直線與曲線相交于兩點(diǎn),直線過定點(diǎn)且傾斜角為交曲線于兩點(diǎn).
(1)把曲線化成直角坐標(biāo)方程,并求的值;
(2)若成等比數(shù)列,求直線的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果你留心使會發(fā)現(xiàn),汽車前燈后的反射鏡呈拋物線的形狀,把拋物線沿它的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周,就會形成一個拋物面.這種拋物面形狀,正是我們熟悉的汽車前燈的反射鏡形狀,這種形狀使車燈既能夠發(fā)出明亮的、照射很遠(yuǎn)的平行光束,又能發(fā)出較暗的,照射近距離的光線.我們都知道常規(guī)的前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成,明亮的光束,是由位于拋物面形狀反射鏡焦點(diǎn)的光源射出的,燈泡位于拋物面的焦點(diǎn)上,燈泡發(fā)出的光經(jīng)拋物面反射鏡反射形成平行光束,再經(jīng)過配光鏡的散射、偏轉(zhuǎn)作用,以達(dá)到照亮路面的效果,這樣的燈光我們通常稱為遠(yuǎn)光燈:而較暗的光線,不是由反射鏡焦點(diǎn)的光源射出的,光線的行進(jìn)與拋物線的對稱軸不平行,光線只能向上和向下照射,所以照射距離并不遠(yuǎn),如果把向上射出的光線遮。嚐艟椭荒馨l(fā)出向下的、射的很近的光線了.請用數(shù)學(xué)的語言歸納表達(dá)遠(yuǎn)光燈的照明原理,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,為橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn),,分別為的內(nèi)心、重心,當(dāng)軸時,橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了選拔學(xué)生參加全市中學(xué)生物理競賽,學(xué)校先從高三年級選取60名同學(xué)進(jìn)行競賽預(yù)選賽,將參加預(yù)選賽的學(xué)生成績(單位:分)按范圍,,,分組,得到的頻率分布直方圖如圖:
(1)計(jì)算這次預(yù)選賽的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)若對得分在前的學(xué)生進(jìn)行校內(nèi)獎勵,估計(jì)獲獎分?jǐn)?shù)線;
(3)若這60名學(xué)生中男女生比例為,成績不低于60分評估為“成績良好”,否則評估為“成績一般”,試完成下面列聯(lián)表,是否有的把握認(rèn)為“成績良好”與“性別”有關(guān)?
成績良好 | 成績一般 | 合計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) |
附:,
臨界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:,圓:.
(1)若過拋物線的焦點(diǎn)的直線與圓相切,求直線方程;
(2)在(1)的條件下,若直線交拋物線于,兩點(diǎn),軸上是否存在點(diǎn)使(為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某人打算做一個正四棱錐形的金字塔模型,先用木料搭邊框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一條棱和邊都相等.
(1)求證:直線AC垂直于直線SD;
(2)若搭邊框共使用木料24米,則需要多少立方米的填充材料才能將整個金字塔內(nèi)部填滿?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著電子閱讀的普及,傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊.某雜志社近9年來的紙質(zhì)廣告收入如表所示:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
時間代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
廣告收入y(千萬元) | 2 | 2.2 | 2.5 | 2.8 | 3 | 2.5 | 2.3 | 2 | 1.8 |
根據(jù)這9年的數(shù)據(jù),對t和y作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.243;根據(jù)后5年的數(shù)據(jù),對t和y作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.984.
(Ⅰ)如果要用線性回歸方程預(yù)測該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入,現(xiàn)在有兩個方案,
方案一:選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測;方案二:選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測.
從實(shí)際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析,你覺得哪個方案更合適?
附:
相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表:
n-2 | 小概率 | |
0.05 | 0.01 | |
3 | 0.878 | 0.959 |
7 | 0.666 | 0.798 |
(Ⅱ)某購物網(wǎng)站同時銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書,某班級有五名同學(xué)在該網(wǎng)站購買了這本書,其中三人只購買了電子書,另兩人只購買了紙質(zhì)書,從這五人中任取兩人,求兩人都購買了電子書的概率.
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