Question

20．如圖所示在五棱錐P-ABCDE中，側(cè)棱PA⊥底面ABCDE，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，AB=AE=2，BC=DE=1．求證：BD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 以A為原點，分別以AE，AB，AP為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，由題意可得向量$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$的坐標，可求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，從而證明AC⊥BD，又可證PA⊥BD，從而證明BD⊥平面PAC．

解答 證明：如圖，以A為原點，分別以AE，AB，AP為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，
∵側(cè)棱PA⊥底面ABCDE，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，AB=AE=2，BC=DE=1．
∴可得：A（0，0，0），C（1，2，0），B（0，2，0），D（2，1，0），
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{BD}$=（2，-1，0），
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=1×2-2×1+0×0=0，
∴AC⊥BD，
又∵側(cè)棱PA⊥底面ABCDE，BD?底面ABCDE，
∴PA⊥BD，
∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．