8.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+2c
(1)求角A;
(2)若向量$\overrightarrow{BA}$在向量$\overrightarrow{BC}$方向上的投影為$\frac{33}{14}$,且sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$,求b的值..

分析 (1)由正弦定理及兩角和的正弦公式可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+2sinC=sin(A+C)+2sinC=sinAcosC+sinCcosA+2sinC,整理可求A.
(2)由題意可求cosC,sinB,cosB,tanB,由tanB=$\frac{AD}{\frac{33}{14}}$,解得AD,由sinC=$\frac{AD}$,可解得b的值.

解答 解:(1)∵acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+2c,
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+2sinC,
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+2sinC=sin(A+C)+2sinC=sinAcosC+sinCcosA+2sinC,
∵sinC≠0,
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=2,
∴sin(A-30°)=1,
∴A-30°=90°,
∴A=120°.
(2)如圖,AD⊥BC,∵A=120°,sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$,可得:cosC=$\frac{13}{14}$,
∴sinB=sin(A+C)=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{13}{14}$-$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$,cosB=$\frac{11}{14}$,tanB=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$,
∴tanB=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$=$\frac{AD}{\frac{33}{14}}$,解得:AD=$\frac{15\sqrt{3}}{14}$,
∴由sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{AD}$,可得:b=$\frac{14×\frac{15\sqrt{3}}{14}}{3\sqrt{3}}$=5.

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了三角公式中的正弦定理及兩角和的正弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,誘導(dǎo)公式與輔助角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用是求解的基礎(chǔ),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本公式.

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