Question

18．已知函數f（x）滿足f（4+x）=f（-x）．當x₁，x₂∈（-∞，2）時，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0；當x₁，x₂∈（2，+∞）時，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，則f（x₁），f（x₂）的大小關系是（　�。�

• A． f（x₁）＜f（x₂）
• B． f（x₁）＞f（x₂）
• C． f（x₁）=f（x₂）
• D． 不確定

Answer 1

分析 根據條件判斷函數的對稱性和單調性，利用分類討論進行判斷即可．

解答 解：∵f（4+x）=f（-x）．
∴函數關于x=2對稱，
∵當x₁，x₂∈（-∞，2）時，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0此時函數遞增；
當x₁，x₂∈（2，+∞）時，$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，此時函數遞減．
∵x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，
∴若2＜x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂），
若x₁＜2＜x₂，
由x₁+x₂＞4，得x₂＞4-x₁，
∵x₁＜2，∴-x₁＞-2，則4-x₁＞2，
則f（x₂）＞f（4-x₁），
∵f（4+x）=f（-x）．
∴f（4-x）=f（x），即f（4-x₁）=f（x₁）．
∴f（x₂）＞f（4-x₁）=f（x₁），
綜上所述，f（x₁）＞f（x₂），
故選：B．

點評 本題主要考查函數值的大小比較，利用函數的對稱性和單調性的關系是解決本題的關鍵．