Question

5．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，點(diǎn)Q，R分別是CD，PD中點(diǎn)．
（1）求證：AR⊥平面PCQ；
（2）若M是BC中點(diǎn)，N在PB上，且PN=3NB，求證：MN∥平面PAQ．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CD，AD⊥CD，進(jìn)而CD⊥平面PAD，CD⊥AR，由此能證明AR⊥平面PCD．
（2）過N作NF⊥平面ABCD，交AB于F，連結(jié)MF，過C作CE∥AQ，交AB于E，從而NF∥PA，MF∥AQ，進(jìn)而平面MNF∥平面PAD，由此能證明MN∥平面PAQ．

解答 證明：（1）∵PA=AD，點(diǎn)Q是PD中點(diǎn)，∴AR⊥PD，
∵底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∵AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AR?平面PAD，∴CD⊥AR，
∵PD∩CD=D，∴AR⊥平面PCD．
（2）過N作NF⊥平面ABCD，交AB于F，連結(jié)MF，過C作CE∥AQ，交AB于E，
∵PA⊥平面ABCD，∴NF∥PA，∵Q是CD中點(diǎn)，PN=3NB，
∴MF∥AQ，∵NF∩MF=F，PA∩AQ=A，
∴平面MNF∥平面PAD，
∵M(jìn)N?平面MNF，∴MN∥平面PAQ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．