6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,AB=AP,E為棱PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:AE⊥CD;
(Ⅱ)求直線AE與平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若F為AB中點(diǎn),棱PC上是否存在一點(diǎn)M,使得FM⊥AC,若存在,
求出$\frac{PM}{MC}$的值,若不存在,說明理由.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出PA⊥CD,AD⊥CD,從而CD⊥面PAD,由此能證明CD⊥AE.
(Ⅱ)以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線AE與平面PBD所成角的正弦值.
(Ⅲ)設(shè)$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CP}\;,\;(0≤λ≤1)$,則 $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CM}=(1-2λ,2-2λ,2λ)$.由此利用向量法能求出結(jié)果.

解答 (Ⅰ)證明:因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.
因?yàn)锳D⊥CD,AD∩AP=A,
所以CD⊥面PAD.
由于AE?面PAD,所以有CD⊥AE.…(4分)
(Ⅱ)解:依題意,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),
不妨設(shè)AB=AP=2,可得B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
由E為棱PD的中點(diǎn),得E(0,1,1).$\overrightarrow{AE}$=(0,1,1)
向量$\overrightarrow{BD}=(-2,2,0)$,$\overrightarrow{PB}=(2,0,-2)$.
設(shè)$\overrightarrow n=(x,y,z)$為平面PBD的法向量,則$∫\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}$=0,即∫-2x+2y=0.
不妨令y=1,可得$\overrightarrow{n}$=(1,1,1)為平面PBD的一個(gè)法向量.
設(shè)直線AE與平面PBD所成角為θ,
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
所以,直線AE與平面PBD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.…(11分)
(Ⅲ)解:向量$\overrightarrow{CP}=(-2,-2,2)$,$\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$,$\overrightarrow{AB}=(2,0,0)$.
由點(diǎn)M在棱PC上,設(shè)$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CP}\;,\;(0≤λ≤1)$.
故 $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CM}=(1-2λ,2-2λ,2λ)$.
由FM⊥AC,得$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{AC}$=0,
因此,(1-2λ)×2+(2-2λ)×2=0,解得$λ=\frac{3}{4}$.
所以 $\frac{PM}{MC}=\frac{1}{3}$.…(13分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查兩線段比值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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