Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|-|x-1|．
（1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）+4≥|1-2m|有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）＞1解集．
（2）根據(jù)題意可得|x+2|-|x-1|+4≥|1-2m|有解，即|x+2|-|x-1|+4 的最大值大于或等于|1-2m|，再利用絕對(duì)值的意義求得|x+2|-|x-1|+4 的最大值，從而求得m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x+2|-|x-1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
而0對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于1，
故不等式f（x）＞1解集為{x|x＞0}．
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）+4≥|1-2m|有解，
即|x+2|-|x-1|+4≥|1-2m|有解，故|x+2|-|x-1|+4 的最大值大于或等于|1-2m|．
利用絕對(duì)值的意義可得|x+2|-|x-1|+4 的最大值為3+4=7，
∴|1-2m|≤7，故-7≤2m-1≤7，求得-3≤m≤4，
m的范圍為[-3，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，函數(shù)的能成立問題，屬于中檔題．