Question

5．已知函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在$（{0，\sqrt{a}}]$上是減函數(shù)，在$[{\sqrt{a}，+∞}）$上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+$\frac{3^b}{x}$（x＞0）在（0，3]上是減函數(shù)，在[3，+∞）上是增函數(shù)，求b的值；
（2）設(shè)常數(shù)c∈[1，4]，求函數(shù)f（x）=x+$\frac{c}{x}$（1≤x≤2）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給函數(shù)性質(zhì)得$\sqrt{{3}^}$=3；
（2）判斷f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，利用單調(diào)性得出最值．

解答 解：（1）由已知得$\sqrt{3^b}=3$，∴b=2．
（2）∵c∈[1，4]，∴$\sqrt{c}$∈[1，2]，∴f（x）在[1，$\sqrt{c}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{c}$，2]上是增函數(shù)．
∴當(dāng)$x=\sqrt{c}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值f（$\sqrt{c}$）=2$\sqrt{c}$．
又$f（1）-f（2）=\frac{c-2}{2}$，
當(dāng)1≤c≤2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值是$f（2）=2+\frac{c}{2}$；
當(dāng)2＜c≤4時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=1+c．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．