Question

8．已知變量x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}}\right.$，則$\frac{x+y+3}{x+2}$的取值范圍是（　　）

• A． $[{2，\frac{5}{2}}]$
• B． $[{\frac{5}{4}，\frac{5}{2}}]$
• C． $[{\frac{4}{5}，\frac{5}{2}}]$
• D． $[{\frac{5}{4}，2}]$

Answer 1

分析 作出可行域，變形目標函數(shù)可得$\frac{x+y+3}{x+2}$=1+$\frac{y+1}{x+2}$表示可行域內(nèi)的點與A（-2，-1）連線的斜率與1的和，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：作出滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}}\right.$所對應的區(qū)域（如圖陰影），
變形目標函數(shù)可得 $\frac{x+y+3}{x+2}$=$\frac{x+2+y+1}{x+2}$=1+$\frac{y+1}{x+2}$，
表示可行域內(nèi)的點與A（-2，-1）連線的斜率與1的和，
由圖象可知當直線經(jīng)過點B（2，0）時，目標函數(shù)取最小值1+$\frac{0+1}{2+2}$=$\frac{5}{4}$；
當直線經(jīng)過點C（0，2）時，目標函數(shù)取最大值1+$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{5}{2}$；
故答案為：[$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{2}$]．

點評 本題考查簡單線性規(guī)劃，涉及直線的斜率公式，準確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．