Question

11．設(shè)f（x）=$\frac{{x-\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}x+1}}$，且滿足f_n（x）=f（f_n-1（x）），n∈N^*，若f₀（x）=f（x），則f₂₀₁₅（0）=（　�。�

• A． 0
• B． $\sqrt{3}$
• C． $-\sqrt{3}$
• D． 2015

Answer 1

分析 由題意，可先求出f₁（x），f₂（x），f₃（x）…，歸納出f_n+3（x）=f_n（x），即可得出f₂₀₁₅（x）的表達(dá)式，進(jìn)而得到f₂₀₁₅（0）=0．

解答 解：f₀（x）=f（x）=$\frac{{x-\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}x+1}}$，
f₁（x）=f（f（x））=$\frac{\frac{x-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}x}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}•\frac{x-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}x}}$=$\frac{x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}x}$，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{\frac{x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}x}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}•\frac{x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}x}}$=x，
f₃（x）=f（f₂（x））=f（x）=f₀（x），
f₄（x））=f（f₃（x））=f₁（x），
…，
則f_n+3（x）=f_n（x），
故f₂₀₁₅（x）=f_3×671+2（x）=f₂（x）=x，
則f₂₀₁₅（0）=0．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查邏輯推理中歸納推理，由特殊到一般進(jìn)行歸納得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．