Question

11．已知函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)．且對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），則f（2007）=0．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件，湊出函數(shù)的某些特殊函數(shù)值，觀察到函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，對于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），易想到f（-3）與f（3）可能是解決問題的突破口．求出函數(shù)的周期，然后求解即可．

解答 解：由f（x+6）=f（x）+f（3），
令x=-3，則有f（-3+6）=f（-3）+f（3），
即f（3）=f（-3）+f（3），
所以f（-3）=0．
由已知f（x）是R上的偶函數(shù)，
所以f（3）=f（-3）=0，
所以f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），
所以T=6，
f（2007）=f（334×6+3）=f（3）=0．
故答案為：0．

點評 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，不可能求出函數(shù)的解析式，然后采用代入求值的辦法處理，故我們要根據(jù)已知的條件，湊出一些特殊點的函數(shù)值，借此分析函數(shù)的性質(zhì)，本題中由于所求的是f（2007）故要探究的關(guān)鍵是函數(shù)的周期性．