Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+cosx，x≥0}\\{x（a-x），x＜0}\end{array}\right.$若關(guān)于x的不等式f（x）＜π的解集為（-∞，$\frac{π}{2}$），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞-2$\sqrt{π}$．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+cosx，x≥0}\\{x（a-x），x＜0}\end{array}\right.$若關(guān)于x的不等式f（x）＜π的解集為（-∞，$\frac{π}{2}$），則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x（a-x）＜π恒成立，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+cosx，x≥0}\\{x（a-x），x＜0}\end{array}\right.$若關(guān)于x的不等式f（x）＜π的解集為（-∞，$\frac{π}{2}$），
則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x（a-x）＜π恒成立，
即a＞$\frac{π}{x}+x$在x＜0時(shí)恒成立，
令g（x）=$\frac{π}{x}+x$，則當(dāng)x=-$\sqrt{π}$時(shí)，g（x）取最大值-2$\sqrt{π}$，
故a＞-2$\sqrt{π}$，
故答案為：a＞-2$\sqrt{π}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．