Question

6．若實(shí)數(shù)a，b在區(qū)間[0，$\sqrt{2}$]上取值，則函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$ax³+bx²+ax在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的概率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{8}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）=ax³+bx²+ax在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的充要條件，得出關(guān)于a，b的約束條件，在a-o-b坐標(biāo)系中畫出可行域，再利用幾何概型求出兩者的面積比即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$ax³+bx²+ax，易得f′（x）=2ax²+2bx+a，
函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$ax³+bx²+ax在R上有兩個(gè)相異極值點(diǎn)的充要條件：
是a≠0且其導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0，即a≠0且4b²-8a²＞0，
又a，b在區(qū)間[0，$\sqrt{2}$]上取值，則 a＞0，b＞$\sqrt{2}$a，
點(diǎn)（a，b）滿足的區(qū)域如圖中陰影部分所示，
其中正方形區(qū)域的面積為3，陰影部分的面積為 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故所求的概率是 $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、幾何概型．簡單地說，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．