Question

5．定義在區(qū)間（m-1，m+1）上的函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{9}{2}$x²在該區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是[1，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 先求函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{9}{2}$x²的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1}{x}$-9x=$\frac{1-9{x}^{2}}{x}$，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而再由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{m-1≥0}\\{m-1＜\frac{1}{3}}\\{m+1＞\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{9}{2}$x²的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-9x=$\frac{1-9{x}^{2}}{x}$，
故當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{3}$）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{3}$，+∞）時，f′（x）＜0；
∵定義在區(qū)間（m-1，m+1）上的函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{9}{2}$x²在該區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1≥0}\\{m-1＜\frac{1}{3}}\\{m+1＞\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得，1≤m＜$\frac{4}{3}$；
故實數(shù)m的取值范圍是[1，$\frac{4}{3}$）；
故答案為：[1，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，同時考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．