Question

14．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點(diǎn)N在線段PB上，且PN=$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求證：MN∥平面PDC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在正三角形ABC中，BM=2$\sqrt{3}$，在△ACD中，由M為AC中點(diǎn)，DM⊥AC，可得AD=CD，又∠CDA=120°，可得DM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，得到$\frac{BM}{MD}=\frac{3}{1}$．在等腰直角三角形PAB中，可得$\frac{BN}{NP}=\frac{3}{1}$，得到$\frac{BN}{NP}=\frac{BM}{MD}$，MN∥PD．再利用線面平行的判定定理即可證明．
（Ⅱ）由∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，可得AB⊥AD，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，可得B（4，0，0），$C（2，2\sqrt{3}，0）$，$D（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$，P（0，0，4）．由（Ⅰ）可知，$\overrightarrow{DE}$=$（4，-\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$為平面PAC的法向量，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，可得平面PBC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$，利用向量的夾角公式即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：在正三角形ABC中，BM=2$\sqrt{3}$，
在△ACD中，∵M(jìn)為AC中點(diǎn)，DM⊥AC，
∴AD=CD，又∠CDA=120°，
∴DM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{3}{1}$．
在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=4，∴PB=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BN}{NP}=\frac{3}{1}$，
∴$\frac{BN}{NP}=\frac{BM}{MD}$，
∴MN∥PD．
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
（Ⅱ）解：∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
∴B（4，0，0），$C（2，2\sqrt{3}，0）$，$D（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$，P（0，0，4）．
由（Ⅰ）可知，$\overrightarrow{DE}$=$（4，-\frac{4\sqrt{3}}{3}，0）$為平面PAC的法向量，$\overrightarrow{PC}$=$（2，2\sqrt{3}，-4）$，$\overrightarrow{PB}$=（4，0，-4），
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2\sqrt{3}y-4z=0}\\{4x-4z=0}\end{array}\right.$，
令z=3，解得x=3，y=$\sqrt{3}$，
則平面PBC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=$（3，\sqrt{3}，3）$，
設(shè)二面角A-PC-B的大小為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角aA-PC-B余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理、平行線分線段成比例的判定定理，考查了通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用線面垂直的性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系及平面的法向量的夾角求出二面角的方法，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力．