Question

11．定義M{x，y}=$\left\{\begin{array}{l}{x，（x≥y）}\\{y，（x＜y）}\end{array}\right.$，設(shè)a=x²+xy+x，b=4y²+xy+2y（x，y∈R），則M{a，b}的最小值為-$\frac{1}{6}$，當(dāng)M取到最小值時(shí)，x=-$\frac{1}{3}$，y=-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)a-b=（x²+xy+x）-（4y²+xy+2y）=（x-2y）（x+2y+1），從而可得當(dāng)（x-2y）（x+2y+1）≥0，M{a，b}=a=x²+xy+x=x（x+y+1），當(dāng)（x-2y）（x+2y+1）≤0，M{a，b}=b=4y²+xy+2y=y（4y+x+2），從而分類討論，結(jié)合圖象求a，b的最小值，從而求得．

解答 解：∵a-b=（x²+xy+x）-（4y²+xy+2y）
=（x-2y）（x+2y+1），
當(dāng)（x-2y）（x+2y+1）≥0，
M{a，b}=a=x²+xy+x=x（x+y+1），
作平面區(qū)域如下，
結(jié)合圖象可知，在y=-x-1的左下方時(shí)，x+y+1＜0，陰影內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x＜0，故a＞0，
在y=-x-1的右上方時(shí)，x+y+1＞0，陰影內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x有正有負(fù)，故當(dāng)x＜0時(shí)，a＜0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{x+2y+1=0}\end{array}\right.$解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$；
當(dāng)-1＜x≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，y=-$\frac{x+1}{2}$使a在x不變時(shí)有最小值，
即a=x（x-$\frac{x+1}{2}$+1）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
故x=-$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{4}$時(shí)，a有最小值-$\frac{1}{8}$；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤x＜0時(shí)，y=$\frac{x}{2}$時(shí)使a在x不變時(shí)有最小值，
即a=x（$\frac{3x}{2}$+1）=$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{6}$，
故x=-$\frac{1}{3}$，y=-$\frac{1}{6}$時(shí)，a有最小值-$\frac{1}{6}$；
當(dāng)（x-2y）（x+2y+1）≤0，
M{a，b}=b=4y²+xy+2y=y（4y+x+2），
作平面區(qū)域如下，
，
結(jié)合圖象可知，在4y+x+2=0的左下方時(shí)，4y+x+2＜0，陰影內(nèi)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y＜0，故b＞0，
在4y+x+2=0的右上方時(shí)，4y+x+2＞0，陰影內(nèi)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y有正有負(fù)，故當(dāng)y＜0時(shí)，b＜0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{x+2y+1=0}\end{array}\right.$解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜y≤-$\frac{1}{4}$時(shí)，x=-2y-1使b在y不變時(shí)有最小值，
即b=y（2y+1）=2（y+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
故x=-$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{4}$時(shí)，b有最小值-$\frac{1}{8}$；
當(dāng)-$\frac{1}{4}$≤y＜0時(shí)，x=2y時(shí)使b在y不變時(shí)有最小值，
即b=y（6y+2）=6（y+$\frac{1}{6}$）²-$\frac{1}{6}$，
故x=-$\frac{1}{3}$，y=-時(shí)，b有最小值-$\frac{1}{6}$；
綜上所述，M{a，b}的最小值為-$\frac{1}{6}$，此時(shí)x=-$\frac{1}{3}$，y=-$\frac{1}{6}$．
故答案為：-$\frac{1}{6}$，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的變形應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了最值的求法及分類討論的思想應(yīng)用，屬于難題．