Question

15．如表是一個由n²個正數組成的數表，用a_ij表示第i行第j個數（i，j∈N），已知數表中第一列各數從上到下依次構成等差數列，每一行各數從左到右依次構成等比數列，且公比都相等．已知a₁₁=1，a₃₁+a₆₁=9，a₃₅=48．
（1）求a_n1和a_4n；
（2）設c_n=$\frac{{2{a_{n1}}}}{{{a_{4n}}}}$，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設第1列依次組成的等差公差為d，設第1行依次組成的等比數列的公比為q，根據題意可以求出d和q，再根據通項公式的定義即可求出；
（2）根據錯位相減法即可求出前n項和．

解答 解：（1）設第1列依次組成的等差公差為d，設第1行依次組成的等比數列的公比為q，根據題意a₃₁+a₆₁=（1+2d）+（1+5d）=9，
∴d=1，
∴a_n1=a₁₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，
∵a₃₁=a₁₁+2d=3，
∴a₃₅=a₃₁，q⁴=3q⁴=48，
∵q＞0，
∴q=2，
∵a₄₁=4，
∴a_4n=a₄₁q^n-1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
（2）C_n=$\frac{{2{a_{n1}}}}{{{a_{4n}}}}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-2）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
作差$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$

點評 本題考查了數列通項公式的求法和錯位相減法求前n項和，屬于中檔題．