15.如表是一個(gè)由n2個(gè)正數(shù)組成的數(shù)表,用aij表示第i行第j個(gè)數(shù)(i,j∈N),已知數(shù)表中第一列各數(shù)從上到下依次構(gòu)成等差數(shù)列,每一行各數(shù)從左到右依次構(gòu)成等比數(shù)列,且公比都相等.已知a11=1,a31+a61=9,a35=48.
(1)求an1和a4n;
(2)設(shè)cn=$\frac{{2{a_{n1}}}}{{{a_{4n}}}}$,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (1)設(shè)第1列依次組成的等差公差為d,設(shè)第1行依次組成的等比數(shù)列的公比為q,根據(jù)題意可以求出d和q,再根據(jù)通項(xiàng)公式的定義即可求出;
(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出前n項(xiàng)和.

解答 解:(1)設(shè)第1列依次組成的等差公差為d,設(shè)第1行依次組成的等比數(shù)列的公比為q,根據(jù)題意a31+a61=(1+2d)+(1+5d)=9,
∴d=1,
∴an1=a11+(n-1)d=1+(n-1)×1=n,
∵a31=a11+2d=3,
∴a35=a31,q4=3q4=48,
∵q>0,
∴q=2,
∵a41=4,
∴a4n=a41qn-1=4×2n-1=2n+1,
(2)Cn=$\frac{{2{a_{n1}}}}{{{a_{4n}}}}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$,
∴Sn=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+(n-1)×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$,
∴$\frac{1}{2}$Sn=1×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+(n-2)×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+(n-1)×$\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
作差$\frac{1}{2}$Sn=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$
∴Sn=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和,屬于中檔題.

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