Question

20．如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，沿BD將△ABD翻折，得到三棱錐A-BCD，則當三棱錐A-BCD體積最大時，異面直線AD與BC所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{5}{8}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{13}{16}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 菱形ABCD中，∠DAB=60°，△ABD、△CBD為邊長為1的等邊三角形，將△ABD沿BD翻折過程中，點A在底面BDC的投影在∠DCB的平分線上，三棱錐的高最大時，平面ABD⊥平面BCD．

解答 解：△ABD、△CBD為邊長為1的等邊三角形，將△ABD沿BD翻折形成三棱錐A-BCD如圖：

點A在底面BDC的投影在∠DCB的平分線CE上，則三棱錐A-BCD的高為△AEC過A點的高；
所以當平面ABD⊥平面BCD時，三棱錐A-BCD的高最大，體積也最大，此時AE⊥平面BCD；

求異面直線AD與BC所成的角的余弦值：

平移BC到DC′位置，|cos∠ADC′|即為所求，
AD=DC=1，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EC′=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，AC′=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
|cos∠ADC′|=|$\frac{1+1-\frac{10}{4}}{2×1×1}$|=$\frac{1}{4}$，
所以異面直線AD與BC所成的角的余弦值為$\frac{1}{4}$，
故選B．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．