Question

1．已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{a_n}，{b_n}（b_n≠0．n∈N^*）滿足a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0．若b_n=3^n-1，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（n-1）•3ⁿ+1．

Answer 1

分析 a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0，b_n=3^n-1，代入變形為：$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2}{3}$，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n=（2n-1）•3^n-1．再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵a_nb_n+1-a_n+1b_n+2b_n+1b_n=0，b_n=3^n-1，
∴3a_n-a_n+1+2×3ⁿ=0，
化為$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2}{3}$，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$，公差為$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}（n-1）$，
可得a_n=（2n-1）•3^n-1．
∴S_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1，
∴3S_n=3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
∴-2S_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-1-（2n-1）•3ⁿ=（2-2n）•3ⁿ-2，
S_n=（n-1）•3ⁿ+1．
故答案為：（n-1）•3ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．