Question

12．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，x∈R．
（I）當a=0時，求證：函數(shù)f（x）遞增；
（Ⅱ）設a＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為$\frac{{a}^{2}}{4}$，求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）m=0時，f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，接下來可以用函數(shù)單調性的定義進行證明：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，分別在x₁，x₂都大于零或都小于零、或其中一個大于零另一個小零情況下得到f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)為R上的增函數(shù)；
（2）先在（0，+∞）上將原函數(shù)變形，變?yōu)閒（x）=x|x-a|=|x（x-a）|，再令g（x）=x（x-a），通過討論二次函數(shù)g（x）的性質可知，得到它的單調性：f（x）在（0，$\frac{1}{2}$a）上遞增，在（$\frac{1}{2}$a，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增．再討論自變量1究竟落在哪一個區(qū)間內，結合比較f（1）、f（$\frac{1}{2}$a）的大小，再解相關的不等式，最后綜合可得實數(shù)a的取值范圍是[2$\sqrt{2}$-2，2]．

解答 解：（1）證明：由題意，f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
當0≤x₁＜x₂時，f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²＜0；
當x₁＜x₂≤0時，f（x₁）-f（x₂）=-x₁²+x₂²=|x₂|²-|x₁²|＜0；
當x₁＜0＜x₂時，f（x₁）-f（x₂）=-x₁²-x₂²＜0．
綜上所述，f（x）在的上為單調增函數(shù)．
（2）在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)f（x）=x|x-a|=|x（x-a）|，
令g（x）=x（x-a），它在（0，$\frac{1}{2}$a）上遞減，在上（$\frac{1}{2}$a，+∞）遞增，
而在[0，+∞）上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），x≥a}\\{-g（x），0≤x＜a}\end{array}\right.$，
根據(jù)二次函數(shù)g（x）的性質可知，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$a）上遞增，在（$\frac{1}{2}$a，a）上遞減，
在（a，+∞）上遞增；
當1∈（0，$\frac{1}{2}$a]時，即當$\frac{1}{2}$a≥1時，[f（x）]_max=f（1）=a-1，解得a-1=$\frac{1}{4}$a²，
故此時a=2；
當1∈（$\frac{1}{2}$a，a]時，即1≤a＜2時，此時，[f（x）]_max=f（$\frac{1}{2}$a）=$\frac{1}{4}$a²，
此時的$\frac{1}{2}$a均滿足題意．
當1∈（a，+∞）時，即0＜a＜1時，[f（x）]_max為f（1）與f（$\frac{1}{2}$a）中較大者，
而故f（$\frac{1}{2}$a）=$\frac{1}{4}$a²，f（1）=1-a，故[f（x）]_max=$\frac{1}{4}$a²，
當且僅當$\frac{1}{4}$a²≥1-a，解這個不等式，得2$\sqrt{2}$-2≤a＜1．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[2$\sqrt{2}$-2，2]．

點評 本題以含有絕對值的函數(shù)為例，考查了二次函數(shù)的單調性和函數(shù)的零點等知識點，屬于難題．解題時應該注意分類討論和轉化化歸等常用數(shù)學思想的運用．