Question

4．已知拋物線y²=4x，點P（a，0）是x軸上一點，過點P作直線l與該拋物線相交于不同的兩點A、B
（Ⅰ）若直線l的斜率為1，當(dāng)點P在x軸上運動時，求線段AB中點M的軌跡方程；
（Ⅱ）點F為該拋物線的焦點，若a=-1，且|AF|=2|BF|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀）．利用中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式、“點差法”即可得出．
（Ⅱ）過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A₁，B₁，求出B的坐標(biāo)，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中點為M（x₀，y₀）．則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
相減可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
又$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，y₁+y₂=2y₀，
所以2y₀=4，從而y₀=2．
8x₀=4（x₁+x₂）=y₁²+y₂²＞8，
所以x₀＞1
故線段AB的中點在直線y=2上（x＞1）…（6分）
（Ⅱ）過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A₁，B₁，
由|AF|=2|BF|可得|AA₁|=2|BB₁|，則點B為PA的中點，連接OB，故2|OB|=|FA|．
∴|OB|=|FB|，B點的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，代拋物線的方程中得B的縱坐標(biāo)為$±\sqrt{2}$，
由B（$\frac{1}{2}，±\sqrt{2}$）和P（-1，0）知直線的方程為y=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x+1）
此時該直線與拋物線有兩個交點，符合題意． …（12分）

點評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式、“點差法”、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．