Question

7．研究函數(shù)f（x）=x-$\frac{{a}^{2}}{x}$，（x≠0常數(shù)a≠0）的定義域、奇偶性、單調(diào)性、最值、值域、零點(diǎn)，并任選一個(gè)你所寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 由分式分母不為0，可得定義域，由奇偶性的定義，可得奇函數(shù)；再由導(dǎo)數(shù)大于0，可得單調(diào)區(qū)間和值域；由f（x）=0，可得零點(diǎn)；再由單調(diào)性的定義即可得證．

解答 解：函數(shù)f（x）=x-$\frac{{a}^{2}}{x}$的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}，
由f（-x）=-x+$\frac{{a}^{2}}{x}$=-（x-$\frac{{a}^{2}}{x}$）=-f（x），
可得f（x）為奇函數(shù)；
由f′（x）=1+$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$＞0，可得f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)無(wú)最值；函數(shù)的值域?yàn)镽；
由f（x）=0，可得x=±a，
即有函數(shù)的零點(diǎn)為±a．
證明：設(shè)0＜m＜n，f（m）-f（n）=（m-$\frac{{a}^{2}}{m}$）-（n-$\frac{{a}^{2}}{n}$）
=（m-n）（1+$\frac{{a}^{2}}{mn}$），
由0＜m＜n，可得m-n＜0，mn＞0，1+$\frac{{a}^{2}}{mn}$＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，
則f（x）在（0，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．