Question

15．a(chǎn)₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式兩邊取倒數(shù)，得到數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后可得a_n．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+2$，
即數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}構(gòu)成以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+2（n-1）=2n-1$，則${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
故答案為：$\frac{1}{2n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．