Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n且S_n=$\frac{3}{2}$a_n-n（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求證：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，即當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，有數(shù)列{a_n+1}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列；
（2）要證$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$，即證$\frac{2}{8}$+$\frac{8}{26}$+…+$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n+1}-1}$＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$，由$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{3（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{8•{3}^{n}+（{3}^{n}-3）}$≥$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4•{3}^{n}}$，運用等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=$\frac{3}{2}$a₁-1，
解得a₁=2，
當(dāng)n＞1時，a_n=S_n-S_n-1
═$\frac{3}{2}$a_n-n-$\frac{3}{2}$a_n-1+n-1，
即有a_n=3a_n-1+2，
即為a_n+1=3（a_n-1+1），
則數(shù)列{a_n+1}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
即有a_n+1=3ⁿ，即a_n=3ⁿ-1；
（2）要證$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$，即證
$\frac{2}{8}$+$\frac{8}{26}$+…+$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n+1}-1}$＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$，
由$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{3（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{8•{3}^{n}+（{3}^{n}-3）}$≥$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4•{3}^{n}}$，（僅當(dāng)n=1時取得等號），
則$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＞$\frac{1}{3}$•n-$\frac{1}{4}$•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查不等式的證明，注意運用放縮法和不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．