7．若實數(shù)x，y滿足x2-4xy+4y2+4x2y2=4，則當x+2y取得最大值時，$\frac{x}{y}$的值為2．

分析 實數(shù)x，y滿足x2-4xy+4y2+4x2y2=4，變形為：（x+2y）2+（2xy-2）2=8，令x+2y=$2\sqrt{2}$sinθ，2xy-2=2$\sqrt{2}$cosθ，θ∈[0，2π）．則當x+2y取得最大值時，θ=$\frac{π}{2}$，即可得出．

解答 解：∵實數(shù)x，y滿足x2-4xy+4y2+4x2y2=4，
變形為：（x+2y）2+（2xy-2）2=8，
令x+2y=$2\sqrt{2}$sinθ，2xy-2=2$\sqrt{2}$cosθ，θ∈[0，2π）．
則當x+2y取得最大值時，θ=$\frac{π}{2}$，
則x+2y=2$\sqrt{2}$，2xy-2=0，
解得x=$\sqrt{2}$，y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
$\frac{x}{y}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了實數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)代換方法、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

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