Question

2．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y-1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y-1≤k（x-1）}\end{array}\right.$（k＞0）表示的平面區(qū)域為D，若?（x，y）∈D，$\frac{y}{{x}^{2}}$≤1恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（0，1]．

Answer 1

分析 如圖所示，題中不等式組表示的平面區(qū)域為圖中直線AB上方、直線BC的下方，且y-1=k（x-1）下方的區(qū)域．由此將直線y-1=k（x-1）繞A（1，1）旋轉(zhuǎn)，觀察斜率的變化并計算$\frac{y}{{x}^{2}}$的值，可得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：如圖示：
，
根據(jù)題意，直線y-1=k（x-1）經(jīng)過定點A（1，1）
不等式組表示的平面區(qū)域為直線AB上方、直線BC的下方，且y-1=k（x-1）下方的區(qū)域
∵$\frac{y}{{x}^{2}}$的最大值為1，即當點P與點A重合時$\frac{y}{{x}^{2}}$有最大值
∴直線y-1=k（x-1）繞A點順時針旋轉(zhuǎn)，且滿足斜率大于0時，符合題意，
因此斜率的范圍為（0，1]，即實數(shù)k的取值范圍是（0，1]．
故答案為：（0，1]．

點評 本題給出二元一次不等式組，求目標函數(shù)的最值和參數(shù)的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和直線的斜率等知識，屬于中檔題．