Question

8．已知cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，α為銳角．
（1）則cos（2α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{7}{25}$；
（2）若關(guān)于x的方程2cos（2x+α）+1=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有且僅有2個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍是（-1，$\frac{1-3\sqrt{3}}{5}$]．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式計算即可，
（2）先根據(jù)同角的關(guān)系和兩角差的余弦公式求出cosα=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$，由x的方程2cos（2x+α）+1=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有且僅有2個不相等的實根，得到分別畫出y=cos（2x+α）與y=$\frac{1}{2}$（m-1）的圖象只有兩個不同的交點，即可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）cos（2α+$\frac{π}{3}$）=2cos²（α+$\frac{π}{6}$）-1=2×$\frac{9}{25}$-1=-$\frac{7}{25}$，
（2）∵cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，α+$\frac{π}{6}$∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時，cosα=cos（π+α）=-cosα=-$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$，
∵2cos（2x+α）+1=m，
∴cos（2x+α）=$\frac{1}{2}$（m-1），
分別畫出y=cos（2x+α）與y=$\frac{1}{2}$（m-1）的圖象，
∵在[0，$\frac{π}{2}$]上有且僅有2個不相等的實根，
∴-1＜m≤$\frac{1-3\sqrt{3}}{5}$，
故m的取值范圍為（-1，$\frac{1-3\sqrt{3}}{5}$]
故答案為（1）-$\frac{7}{25}$，（2）（-1，$\frac{1-3\sqrt{3}}{5}$]

點評 本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，二倍角公式，兩角差的余弦公式，以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．