Question

11．已知函數(shù)f（x-3）=log_a$\frac{x}{6-x}$（a＞0）
（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由．
（2）當0＜a＜1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的解析式，利用定義判斷f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，判斷f（x）是定義域上的減函數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x-3）=log_a$\frac{x}{6-x}$=log_a$\frac{x-3+3}{6-（x-3）-3}$=log_a$\frac{（x-3）+3}{3-（x-3）}$（a＞0），
∴f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$，令$\frac{3+x}{3-x}$＞0，解得-3＜x＜3；
∴x∈（-3，3），
∴f（-x）=log_a$\frac{3-x}{3+x}$=-log_a$\frac{3+x}{3-x}$=-f（x），
∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)；
（2）∵f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$=log_a$\frac{（x-3）+6}{3-x}$=log_a（-1+$\frac{6}{3-x}$），
且y=$\frac{6}{3-x}$在定義域（-3，3）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴當0＜a＜1時，f（x）=log_a（-1+$\frac{6}{3-x}$）在定義域（-3，3）上是單調(diào)減函數(shù)，
即函數(shù)f（x）在定義域（-3，3）上是單調(diào)減函數(shù)．

點評 本題考查了判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應用問題，也考查了求函數(shù)解析式的應用問題，是綜合性題目．