Question

如圖，已知矩形ABCD中，PA⊥平面ABCD，M，N，R分別是AB，PC，CD的中點，求證：
（Ⅰ）直線AR∥平面PMC；
（Ⅱ）直線MN⊥直線AB．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理，只要判斷AR∥CM即可；
（2）取的PD中點為E，并連接NE，AE，根據(jù)中位線四邊形AMNE為平行四邊形，所以AE∥MN，又因AE?在平面PAD，MN?在平面PAD，根據(jù)線面平行的判定定理可知A₁C∥平面BDE，從而MN∥平面PAD．根據(jù)PA⊥矩形ABCD則PA⊥CD，又因四邊形ABCD為矩形則AD⊥CD，從而CD⊥平面PAD，又因AE?在平面PAD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知CD⊥AE，根據(jù)AE∥MN，可知MN⊥AB．

解答： 證明：（Ⅰ）因為四邊形ABCD是矩形并且M，R是AB，CD的中點，
所以AM∥CR，AM=CR，
所以四邊形AMCR是平行四邊形，
所以AR∥MC，AR?平面PMC，MC?平面PMC，
所以AR∥平面PMC．
（Ⅱ）取的PD中點為E，并連接NE，AE如圖

∵M、N分別為AB、PC的中點
∴NE∥CD且NE=

1

2

CD，AM∥CD且AM=

1

2

CD，
∴AM∥NE且AM=NE
∴四邊形AMNE為平行四邊形
∴AE∥MN
又∵又AE?在平面PAD，MN?在平面PAD∴A₁C∥平面BDE．
∴MN∥平面PAD
∵PA⊥矩形ABCD∴PA⊥CD又
∵四邊形ABCD為矩形∴AD⊥CD
∴CD⊥平面PAD
又∵AE?在平面PAD∴CD⊥AE
又∵AE∥MN
∴MN⊥AB．

點評：本小題主要考查直線與平面平行，以及空間兩直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．