Question

17．a(chǎn)、b、c是-個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，且a+b-c=1．已知長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)為1，且a＞b，則高c的取值范圍是（0，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 由已知得a²+b²+c²=1，a+b=1+c，b-a＞0，由此得到1-3c＞0，從而能求出高c的取值范圍．

解答 解：∵長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)為1，∴a²+b²+c²=1，
∵a+b-c=1，∴a+b=1+c，
∴（a+b-c）²
=a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc
=1+2ab-2ac-2bc=1
ab-ac-bc=0
ab-c（a+b）=0
ab=c（a+b）
b＞a，b-a＞0
∴$\sqrt{（b-a）^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$
=$\sqrt{（a+b）^{2}-4c（a+b）}$
=$\sqrt{（a+b）（a+b-4c）}$
=$\sqrt{（a+b）（1-3c）}$＞0
∴1-3c＞0，
解得0＜c＜$\frac{1}{3}$．
∴高c的取值范圍是（0，$\frac{1}{3}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查長(zhǎng)方體的高的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì)的合理運(yùn)用．