Question

12．現(xiàn)代產(chǎn)品的銷售離不開廣告的促銷活動，某公司代理一種國際品牌智能環(huán)境檢測設(shè)備，其廣告費用x（單位：萬元）與年銷售量t（單位：件）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：

廣告費用x（萬元）	3	4	5	6
年銷售量t（件）	25	30	40	45

這里所給出的數(shù)據(jù)表示t對x呈線性回歸關(guān)系$\stackrel{∧}{t}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$．
[參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$]．
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出線性回歸方程；
（2）將（1）中的$\stackrel{∧}{t}$近似地看作產(chǎn)品的實際年銷售量t，若該產(chǎn)品的銷售單價g（x）（單位：萬元）與廣告費x的近似關(guān)系是g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{17-2x（x∈{N}^{*}，且1≤x≤5）}\\{6-\frac{2}{x}（x∈{N}^{*}，且6≤x≤10）}\end{array}\right.$試問當公司投入廣告費用多少萬元時，公司每年獲得的銷售收入最大，最大銷售收入是多少萬元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)公式求出對應(yīng)系數(shù)，得出線性回歸方程；
（2）利用線性回歸方程，寫出銷售收入函數(shù)f（x），求出它的最大值即可．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{3+4+5+6}{4}$=4.5，$\overline{t}$=$\frac{25+30+40+45}{4}$=35，
$\stackrel{∧}$=$\frac{（3×25+4×30+5×40+6×45）-4×4.5×35}{{（3}^{2}{+4}^{2}{+5}^{2}{+6}^{2}）-4{×4.5}^{2}}$=7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{t}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=35-7×4.5=3.5，
所以線性回歸方程$\stackrel{∧}{t}$=7x+3.5；
（2）因為$\stackrel{∧}{t}$=7x+3.5，
g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{17-2x（x∈{N}^{*}，且1≤x≤5）}\\{6-\frac{2}{x}（x∈{N}^{*}，且6≤x≤10）}\end{array}\right.$，
銷售收入函數(shù)為f（x）=t（x）•g（x）
=$\left\{\begin{array}{l}{（7x+3.5）（17-2x），（x{∈N}^{*}，1≤x≤5）}\\{（7x+3.5）（6-\frac{2}{x}），（x{∈N}^{*}，6≤x≤10）}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{-1{4x}^{2}+112x+\frac{119}{2}，（x{∈N}^{*}，1≤x≤5）}\\{42x-\frac{7}{x}+7，（x{∈N}^{*}，6≤x≤10）}\end{array}\right.$；
當1≤x≤5時，f（x）的最大值是f（4）=-14×4²+112×4+$\frac{119}{2}$=283.5，
當6≤x≤10時，f（x）的最大值是f（10）=420-$\frac{7}{10}$+7=426.3；
所以，當公司投入廣告費用為10萬元時，公司每年獲得的銷售收入最大，最大銷售收入是426.3萬元．

點評 本題考查了求線性回歸方程的應(yīng)用問題，也考查了利用回歸方程進行預(yù)測求函數(shù)最值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．