Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n+3=3ⁿ⁺¹，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n+3=3ⁿ⁺¹，可得2a₁+3=3²，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，利用遞推關(guān)系即可得出a_n=3ⁿ．
（2）b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{2}{（n+1）n}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n+3=3ⁿ⁺¹，
∴2a₁+3=3²，解得a₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1+3=3ⁿ，∴2a_n=3ⁿ⁺¹-3ⁿ，
解得a_n=3ⁿ，當(dāng)n=1時(shí)也成立．
∴a_n=3ⁿ．
（2）b_n=$\frac{2}{（n+1）lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{2}{（n+1）n}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．