Question

13．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+\frac{3}{5}t}\\{y=1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以O為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sin（θ-$\frac{π}{3}$）
（1）將C₁的參數(shù)方程化為普通方程，C₂的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）若C₁與C₂交于兩點A、B，點P（x，y）是線段AB上的動點，求3x-y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程中消去參數(shù)，能求出曲線C₁的普通方程；利用正弦函數(shù)加法定理和曲線C₂的極坐標方程能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（2）把曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+\frac{3}{5}t}\\{y=1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$代入$（x+\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}$=4，能求出A、B，由此能求出3x-y的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+\frac{3}{5}t}\\{y=1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)，得曲線C₁的普通方程為4x-3y-4$\sqrt{3}$+3=0．
∵曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sin（θ-$\frac{π}{3}$），
∴${ρ}^{2}=2ρsinθ-2\sqrt{3}cosθ$，
∴曲線C₂的直角坐標方程為x²+${y}^{2}+2\sqrt{3}x-2y$=0，
即$（x+\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}$=4．
（2）把曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+\frac{3}{5}t}\\{y=1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$代入$（x+\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}$=4，
得t²=4，解得t=2或t=-2，
∴A（-$\sqrt{3}$+$\frac{6}{5}$，1+$\frac{8}{5}$），B（-$\sqrt{3}$-$\frac{6}{5}$，1-$\frac{8}{5}$），
當P與A重合時，3x-y=-3$\sqrt{3}$+$\frac{18}{5}$-1-$\frac{8}{5}$=1-3$\sqrt{3}$，
當P與B重合時，3x-y=-3$\sqrt{3}-\frac{18}{5}$-1+$\frac{8}{5}$=-3-3$\sqrt{3}$，
∴3x-y的取值范圍是[-3-3$\sqrt{3}$，1-3$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程、直角坐標方程的互化，考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標和直角坐標互化公式的合理運用．