Question

3．已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，公比為q；等差數(shù)列{b_n}中，b₁=3，且{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₃+S₃=27，q=$\frac{S_2}{a_2}$．
（Ⅰ）求{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{3}{{2{S_n}}}$，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系式，列出方程，即可求出通項(xiàng)公式．
（2）表示出c_n，利用裂項(xiàng)求和，求解即可．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵${a_3}+{S_3}=27，q=\frac{S_2}{a_2}$，
∴q²+3d=18，6+d=q²，q=3，d=3•…（4分）
${a_n}={3^{n-1}}$，b_n=3n，•…（6分）
（2）由題意得：${S_n}=\frac{{n（{3+3n}）}}{2}$，${c_n}=\frac{3}{{2{S_n}}}=\frac{3}{2}•\frac{2}{3}（{\frac{1}{{n（{n+1}）}}}）=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$•…（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和的方法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．