Question

18．無窮數(shù)列{a_n}滿足${a_i}∈{N^*}$，且${a_i}≤{a_{i+1}}（i∈{N^*}）$，對于數(shù)列{a_n}，記${b_k}=min\left\{{n|{a_n}≥k}\right\}（k∈{N^*}）$，其中min{n|a_n≥k}表示集合{n|a_n≥k}中的最小數(shù)
（1）若數(shù)列{a_n}：1，3，5，7，…，請寫出${b_1}，{b_2}，{b_{a_2}}$；
（2）已知T_n=${a_1}+{a_2}+…+{a_n}+{b_1}+{b_2}+…+{b_{a_n}}，求證{T_n}=（n+1）{a_n}$．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}為1首項，2為公差的等差數(shù)列，運用定義，即可得到所求值；
（2）考查符合條件的數(shù)列{a_n}中，存在某個i（i≤i≤n-1）滿足a_i≤a_i+1，通過b_k（a_n）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），可得$_{{a}_{i}+1}$=i+1，故只需將數(shù)列P略作調(diào)整，僅將第a_i的值增加1，即調(diào)整后s′=s．如果數(shù)列{a_n′}還有存在相鄰兩項不相等，繼續(xù)做以上的操作，最終一定可以經(jīng)過有限次的操作，使得{a_n}中的每一項變?yōu)橄嗟�，且操作中保持s的值不變，計算即可．

解答 解：（1）由數(shù)列{a_n}：1，3，5，7，…，
即為1首項，2為公差的等差數(shù)列，
可得b₁=min{n|a_n≥1}=1，
b₂=min{n|a_n≥2}=2，$_{{a}_{2}}$=min{n|a_n≥a₂=3}=2；
（2）證明：考查符合條件的數(shù)列{a_n}中，
若存在某個i（1≤i≤n-1）滿足a_i≤a_i+1，
對應可得T_k（P），及s=a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+$_{{a}_{n}}$．
∵b_k=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），∴$_{{a}_{i}+1}$=i+1，
下面將數(shù)列{a_n}略作調(diào)整，僅將第a_i的值增加1，具體如下：
將a_j′=a_j+1，對于任何j（j≠1）令a_j′=a_j，
可得數(shù)列a_n′及其對應數(shù)列b_k（a_n′），
根據(jù)數(shù)列b_k（a_n′）的定義，可得$_{{a}_{i}+1}$（a_n′）=i，
且b_j（a_n′）=b_j（a_n）（j≠a_i+1）．
顯然$_{{a}_{i}+1}$（a_n′）=$_{{a}_{i}+1}$（a_n）-1，
∴s′=a₁′+a₂′+…+a_n′+b₁（a_n′）+b₂（a_n′）+…+$_{{a}_{n}}$（a_n′）
=a₁+a₂+…+a_i-1+（a_i+1）+a_i+1+…+a_n+b₁（a_n）+b₂（a_n）+…+（$_{{a}_{i}+1}$-1）+$_{{a}_{i}+2}$+…+$_{{a}_{n}}$（a_n）
=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）=s，
即調(diào)整后s′=s．
如果數(shù)列{a_n′}還有存在相鄰兩項不相等，繼續(xù)做以上的操作，
最終一定可以經(jīng)過有限次的操作，使得{a_n}中的每一項變?yōu)橄嗟龋?br />且操作中保持s的值不變，
而當a₁=a₂=…=a_n時，b₁（a_n）=b₂（a_n）=…=$_{{a}_{n}}$（a_n）=1，
∴s=a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+$_{{a}_{n}}$=a_n•n+a_n=（n+1）a_n．

點評 本題是一道建立在數(shù)列上的新定義題，考查運動變化的思想，考查分析問題、解決問題的能力，屬于難題．