Question

10．設(shè)f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x．
（1）求f（π）的值；
（2）求-1≤x≤3時(shí)，f（x）的解析式；
（3）當(dāng)-4≤x≤4時(shí)，求f（x）=m（m＜0）的所有實(shí)根之和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求f（π）的值；
（2）結(jié)合函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)即可求-1≤x≤3時(shí)，f（x）的解析式；
（3）當(dāng)-4≤x≤4時(shí)，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求f（x）=m（m＜0）的所有實(shí)根之和．

解答 解：（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
則f（π）=f（π-4）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4；
（2）若-1≤x≤0，則0≤-x≤1，
則f（-x）=-x，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-x=-f（x），
即f（x）=x，-1≤x≤0，
即當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x，
若1≤x≤3，則-1≤x-2≤1，
∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2）=-（x-2）=-x+2，
即當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，}&{-1≤x≤1}\\{-x+2，}&{1≤x≤3}\end{array}\right.$；
（3）作出函數(shù)f（x）在-4≤x≤4時(shí)的圖象如圖，
則函數(shù)的最小值為-1，
若m＜-1，則方程f（x）=m（m＜0）無(wú)解，
若m=-1，則函數(shù)在-4≤x≤4上的零點(diǎn)為x=-1，x=3，則-1+3=2，
若-1＜m＜0，則函數(shù)在-4≤x≤4上共有4個(gè)零點(diǎn)，則它們分別關(guān)于x=-1和x=3對(duì)稱，
設(shè)分別為a，b，c，d，
則a+b=-2，b+d=6，
即a+b+c+d=-2+6=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．