Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-e{x^2}+mx+1$，$g（x）=\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線（1-2e）x-y+4=0平行，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），若g（x₁）＜f′（x₂）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得m=0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）由題意可得g（x₁）的最大值＜f′（x₂）的最小值，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最大值，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，配方可得f′（x）的最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²-2ex+m，
∵f'（1）=1-2e+m=1-2e，∴m=0，
令f'（x）≥0，解得x≥2e，或x≤0，令f'（x）＜0，解得0＜x＜2e，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[2e，+∞），（-∞，0]，
單調(diào)減區(qū)間為（0，2e）．
（Ⅱ）$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}（x＞0）$，
令$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}≥0⇒0＜x≤e$，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，e]，單調(diào)減區(qū)間為[e，+∞）．
當(dāng)x=e時$，\;\;g{（x）_{max}}=\frac{1}{e}$，
又f'（x）=x²-2ex+m=（x-e）²+m-e²，$f'{（x）_{min}}=m-{e^2}$，
∵g（x₁）＜f'（x₂）恒成立，
∴$\frac{1}{e}＜m-{e^2}⇒$$m＞{e^2}+\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．