Question

18．有下列4個(gè)命題：
①若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，則g（x）=f（x）-f（-x）是奇函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，?x∈R，f（x）+f（2-x）=0，則f（x圖象關(guān)于x=1對稱；
③已知x₁和x₂是函數(shù)定義域內(nèi)的兩個(gè)值（x₁＜x₂），若f（x₁）＞f（x₂），則f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
④若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x+2）也是奇函數(shù)，則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
其中，正確命題是①④（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．
②根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系進(jìn)行判斷．
③根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷．
④根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，g（x）=f（x）-f（-x），
則g（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-g（x），則g（x）是奇函數(shù)；故①正確，
②若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，?x∈R，f（x）+f（2-x）=0，
則f（x）=-f（2-x）=f（x-2），則函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，
則函數(shù)關(guān)于（1，0）對稱，則f（x）圖象關(guān)于x=1對稱錯(cuò)誤；故②錯(cuò)誤，
③已知x₁和x₂是函數(shù)定義域內(nèi)的兩個(gè)值（x₁＜x₂），若f（x₁）＞f（x₂），則f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；錯(cuò)誤，
比如函數(shù)f（x）=$-\frac{1}{x}$，在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）內(nèi)，滿足f（-1）＞f（2），但f（x）不是單調(diào)函數(shù)，故③錯(cuò)誤，
④若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x+2）也是奇函數(shù)，
則f（-x+2）=-f（x+2），
即-f（x-2）=-f（x+2），則f（x-2）=f（x+2），即f（x+4）=f（x），
則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．正確，故④正確，
故答案為：①④

點(diǎn)評 本題主要考查與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的命題的真假判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性，單調(diào)性，對稱性和周期性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．