Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，并說(shuō)明可把f（x）圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換得到g（x）=sin2x的圖象．
（Ⅱ）若在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且a=1，b+c=2，f（A）=$\frac{1}{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先對(duì)函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的圖象平移變換求出函數(shù)的結(jié)果．
（Ⅱ）利用函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的定義域求出A的值，進(jìn)一步利用余弦定理求出bc，再利用三角形的面積公式求出結(jié)果．

解答 解　（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2x+$\frac{1}{2}$cos 2x
=sin（$2x+\frac{π}{6}$），
令：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
解得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z），
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$-\frac{π}{3}+kπ，kπ+\frac{π}{6}$]（k∈Z），
把函數(shù)f（x）=sin（$2x+\frac{π}{6}$）的圖象上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，就可得到g（x）=sin2x的圖象．
（Ⅱ）∵f（A）=$\frac{1}{2}$，∴sin（$2x+\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
又0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$．
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
故A=$\frac{π}{3}$．
在△ABC中，
∵a=1，b+c=2，A=$\frac{π}{3}$，
∴1=b²+c²-2bccos A，
即1=4-3bc．∴bc=1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin A=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用整體思想求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，正弦型函數(shù)的圖象變換問(wèn)題．利用函數(shù)的關(guān)系式求函數(shù)的值，余弦定理和三角形面積的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．