Question

8．已知下列函數(shù)：
①y=x+$\frac{1}{x}$； ②y=1g$\frac{x+1}{x-1}$； ③y=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）； ④y=sin（cosx）； ⑤f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+sinx，x≥0}\\{{x}^{2}+sinx，x＜0}\end{array}\right.$．
其中奇函數(shù)的個數(shù)共有（　�。�

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 直接根據(jù)奇偶性的定義對各函數(shù)加以判斷，注意要先確定函數(shù)的定義域，再判斷奇偶性，且滿足f（x）+f（-x）=0即為奇函數(shù)．

解答 解：利用奇偶性定義，對各函數(shù)判斷如下：
①函數(shù)y=f（x）=$x+\frac{1}{x}$，定義域為{x|x≠0}，且f（-x）=-（$x+\frac{1}{x}$）=-f（x），
所以，f（x）為奇函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x）=lg$\frac{x+1}{x-1}$，定義域為{x|x＞1，或x＜-1}，且f（-x）=lg$\frac{x-1}{x+1}$=-lg$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
所以，f（x）為奇函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），定義域為R，且f（-x）+f（-x）=lg1=0，
所以，f（x）為奇函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）=sin（cosx），定義域為R，且f（-x）=sin（cos（-x））=sin（cosx）=f（x），
所以，f（x）為偶函數(shù)；
⑤函數(shù)y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+sinx，x≥0}\\{{x}^{2}+sinx，x＜0}\end{array}\right.$，定義域為R，
且f（x）+f（-x）=（-x²+sinx）+[（-x）²+sin（-x）]=0，所以，f（x）為奇函數(shù)；
綜合以上分析可知，函數(shù)①②③⑤為奇函數(shù)，
故答案為：C．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷和證明，涉及函數(shù)定義域的確定，對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題．