Question

6．討論函數(shù)f（x）=x+$\frac{9}{x}$（x＞0）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義即可求出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，在[3，+∞）上單調(diào)遞增．
理由：設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{9}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{9}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-9}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
當(dāng)x∈（0，3），則x₁x₂-9＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[3，+∞），則x₁x₂-9＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義以及分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．