Question

17．如圖，有一塊半徑為2的半圓形紙片，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上，設(shè)CD=2x，梯形ABCD的周長為y．
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求y的最大值，并指出相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）作OH，DN分別垂直DC，AB交于H，N，連結(jié)OD，求出OH，又在直角△AND中，進(jìn)一步求出AD，從而求出梯形ABCD的周長y與x間的函數(shù)解析式，根據(jù)AD＞0，AN＞0，CD＞0可求出定義域；
（2）利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上求出最值的知識(shí)可求出函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）作OH，DN分別垂直DC，AB交于H，N，
連結(jié)OD．由圓的性質(zhì)，H是中點(diǎn)，設(shè)OH=h，
h=$\sqrt{O{D}^{2}-D{H}^{2}}=\sqrt{4-{x}^{2}}$．
又在直角△AND中，AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}=\sqrt{（2-x）^{2}+（4-{x}^{2}）}$=$\sqrt{8-4x}$=2$\sqrt{2-x}$，

∴y=f（x）=AB+2AD+DC=4+2x+4$\sqrt{2-x}$，其定義域是（0，2）；
（2）令t=$\sqrt{2-x}$，則t∈（0，$\sqrt{2}$），且x=2-t²，
∴y=4+2•（2-t²）+4t=-2（t-1）²+10，
當(dāng)t=1，即x=1時(shí)，y的最大值是10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，考查了二次函數(shù)在解決實(shí)際問題中求解最值的常用的方法，屬于中檔題．