Question

7．已知f（x）=x（1-lnx），g（x）=x+$\frac{a}{x}$-1．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對?x₁∈[1，e]，?x₂∈[1，e]，時(shí)f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題等價(jià)于g（x）_最大值≥1，g（x）_最小值≤0，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論參數(shù)的范圍，判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=-lnx，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（2）由（1）得：f（x）在[1，e]遞減，
∴f（x）_最小值=f（e）=0，f（x）_最大值=f（1）=1，
對?x₁∈[1，e]，?x₂∈[1，e]，使f（x₁）=g（x₂）成立，
等價(jià)于g（x）_最大值≥1，g（x）_最小值≤0，
而g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
①a≤1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在[1，e]遞增，
∴g（x）_最大值=g（e）=e+$\frac{a}{e}$-1≥1，解得：a≥2e-e²，
g（x）_最小值=g（1）=a≤0，
此時(shí)：2e-e²≤a≤0，符合題意；
②1＜a＜e²時(shí)，令g′（x）=0，解得：x=$\sqrt{a}$，
∴g（x）在[1，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，e]遞增，
∴g（x）_最小值=g（$\sqrt{a}$）=2$\sqrt{a}$-1≤0，解得：a≤$\frac{1}{4}$，不合題意，
③a≥e²時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在[1，e]單調(diào)遞減，經(jīng)過驗(yàn)證，也不符合條件，舍去，
故a的范圍是：[2e-e²，0]．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．