Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}$+$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為$\frac{1}{2}$，且經過點（1，$\frac{3}{2}$）
（1）求橢圓C的方程；
（2）動直線l：y=x+m與橢圓C相切，點M，N是直線l上的兩點，且F₁M⊥l，F₂N⊥l，求四邊形F₁MNF₂的面積；
（3）過橢圓C內一點T（t，0）作兩條直線分別交橢圓C于點A，C，和B，D，設直線AC與BD的斜率分別是k₁，k₂，若|AT|•|TC|=|BT|•|TD|試問k₁+k₂是否為定值，若是，求出定值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和橢圓的a，b，c的關系和點滿足橢圓方程，即可解得a，b，c，進而得到橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，運用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，求得m，再由點到直線的距離公式和直角梯形的面積公式計算即可得到；
（3）分別設出直線AC，BD的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，得到|AT|•|TC|和|BT|•|TD|，由條件即可得到k₁+k₂是否為定值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
將點（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）將直線y=x+m代入橢圓方程可得，
7x²+8mx+4m²-12=0，
由直線和橢圓相切的條件可得△=64m²-28（4m²-12）=0，
解得m=$±\sqrt{7}$，
焦點F₁（-1，0），F₂（1，0），
由對稱性可取直線y=x+$\sqrt{7}$，
則|MF₁|=$\frac{|\sqrt{7}-1|}{\sqrt{2}}$，|MF₂|=$\frac{|\sqrt{7}+1|}{\sqrt{2}}$，|MF₂|-|MF₁|=$\sqrt{2}$，
|MN|=$\sqrt{4{c}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有四邊形F₁MNF₂的面積為S=$\frac{1}{2}$|MN|•（|MF₁|+|MF₂|）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{14}$
=$\sqrt{7}$；
（3）設T（t，s），s=0，則直線AC的方程為y=k₁（x-t）+s，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-t）+s}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k₁²+3）x²+8k₁（s-k₁t）x+4[（s-k₁t）²-3]=0．
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8{k}_{1}（s-{k}_{1}t）}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4[（s-{k}_{1}t）^{2}-3]}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$．
∴|AT|•|TC|=（1+k₁²）|（x₁-t）（x₂-t）|=（1+k₁²）|x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²|
=（1+k₁²）|$\frac{4[（s-{k}_{1}t）^{2}-3]}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$+t•$\frac{8{k}_{1}（s-{k}_{1}t）}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$+t²|=（1+k₁²）|$\frac{4{s}^{2}+3{t}^{2}-12}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$|．
同理，直線BD的方程為y=k₂（x-t）+s，
則|BT|•|TD|=（1+k₂²）|$\frac{4{s}^{2}+3{t}^{2}-12}{3+4{{k}_{2}}^{2}}$|．
∵|AT|•|TC|=|BT|•|TD|，
∴（1+k₁²）|$\frac{4{s}^{2}+3{t}^{2}-12}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$|=（1+k₂²）|$\frac{4{s}^{2}+3{t}^{2}-12}{3+4{{k}_{2}}^{2}}$|．
又T為橢圓內任意一點，且s=0，
∴$\frac{{t}^{2}}{4}$+$\frac{{s}^{2}}{3}$＜1，即4s²+3t²-12＜0，$\frac{1+{{k}_{1}}^{2}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{1+{{k}_{2}}^{2}}{3+4{{k}_{2}}^{2}}$，
∴k₁²=k₂²．
又直線AC與BD不重合，
∴k₁+k₂=0為定值．

點評 本題主要考查了橢圓的方程和性質，考查直線與圓錐曲線的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據方程的根與系數的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力．