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14.已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.
(1)當(dāng)k=2時,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若f(x)≤0恒成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可;
(2)問題轉(zhuǎn)化為klnx+1x在(0,+∞)上恒成立,令gx=lnx+1xx0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可.

解答 解:函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞)--------------------------(1分)
(1)當(dāng)k=2時,f(x)=lnx-2x+1,則fx=1x2=12xx-------------------------(3分)
fx00x12,所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為012.-----------------------------------(6分)
(2)由f(x)≤0得kx≥lnx+1,即klnx+1x在(0,+∞)上恒成立.----------------------------------(7分)
gx=lnx+1xx0,則gx=lnxx2.---------------------------------------------(8分)
由g'(x)>0得0<x<1,由g'(x)<0得x>1.--------------------------------------------(9分)
所以g(x)在(0,1)為增區(qū)間,在(1,+∞)為減區(qū)間,--------------------------------------------(10分)
所以當(dāng)x=1時,g(x)max=g(1)=1.故k≥1.--------------------------------------------(12分)

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.

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