Question

19．若點(diǎn)p在拋物線y²=2x上，A（a，0）
（1）請(qǐng)你完成下表：

實(shí)物a的值	-2	0	0.5	1	2
|PA|的最小值		0
相應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)

（2）若α∈R，求|PA|的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離的表達(dá)式；再結(jié)合二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法即可求出點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離的最小值，并求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）請(qǐng)你完成下表：

實(shí)數(shù)a的值	-2	0	0.5	1	2
|PA|的最小值	2	0	0.5	1	$\sqrt{3}$
相應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)	（0，0）	（（0，0）	（0，0）	（0，0）	（1，±$\sqrt{2}$）

（2）設(shè)P（x，y），則|PA|=$\sqrt{（x-a）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（2-2a）x+{a}^{2}}$，x∈（0，+∞），
設(shè)函數(shù)g（x）=x²+（2-2a）x+a²，（x∈（0，+∞）），
其對(duì)稱(chēng)軸方程為x=a-1，
當(dāng)a-1＜0，即a＜1時(shí)，g（x）=x²+（2-2a）x+a²在x≥0時(shí)為增函數(shù)，
∴|PA|_min=$\sqrt{g（0）}$=|a|，此時(shí)P（0，0）；
（2）當(dāng)a-1≥0即a≥1時(shí)，
g（x）=x²+（2-2a）x+a²（x≥0）在（0，a-1）上遞減，在（a-1，+∞）上遞增，
∴|PA|_min=$\sqrt{g（a-1）}$=$\sqrt{2a-1}$，此時(shí)P（a-1，±$\sqrt{2a-2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法．在求二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值時(shí)，一定要注意分對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左邊，對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間右邊以及對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間中間三種情況來(lái)討論，此題是中檔題．