Question

14．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，AD=4，E為側面AA₁B₁B的中心，F為A₁D₁的中點，求下列向量的數量積：
（1）$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{E{D}_{1}}$；
（2）$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$；
（3）$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{F{C}_{1}}$．

Answer 1

分析 以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，求出A，B，C，A₁，B₁，C₁，D₁，E，F的坐標，再由向量的坐標公式，結合向量的數量積的坐標表示，計算可得所求向量的數量積．

解答 解：如圖，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
即有A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），A₁（0，0，2），
B₁（2，0，2），C₁（2，4，2），D₁（0，4，2），
E（1，0，1），F（0，2，2），
（1）$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=（0，4，0）•（-1，4，1）=0×（-1）+4×4+0×1=16；
（2）$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-2，2，2）•（2，0，2）=-2×2+2×0+2×2=0；
（3）$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{F{C}_{1}}$=（-1，2，1）•（2，2，0）=-1×2+2×2+1×0=2．

點評 本題考查空間向量的數量積的坐標表示，考查運算能力，屬于基礎題．