【題目】已數(shù)列的各項均為正整數(shù),且滿足,又.
(1)求的值,猜想的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)設(shè),求的值;
(3)設(shè),是否存在最大的整數(shù),使得對任意,均有?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3);
【解析】
(1)由結(jié)合遞推公式求出,以此類推求出猜測,用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)由(1),求出,按數(shù)列極限運算法則,即可求解;
(3)求出,且,為遞增數(shù)列,求出最小值,即可求出結(jié)論.
(1),當(dāng)時,
,解得或(舍去),
同理可得,猜想,
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
①當(dāng)時,通項成立;
②假設(shè)時成立,即,那么
,
所以時通項成立,根據(jù)①②可得;
(2)由(1)得
,
當(dāng),
;
(3),
為遞增數(shù)列,
故的最小值為.
假設(shè)滿足條件整數(shù)存在,使得對任意,,
只需,所以滿足條件的最大整數(shù)為7.
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【題目】已知橢圓C的方程為,離心率為,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過動點的直線交軸的負(fù)半軸于點,交C于點(在第一象限),且是線段的中點,過點作x軸的垂線交C于另一點,延長線交C于點.
(i)設(shè)直線,的斜率分別為,,證明:;
(ii)求直線的斜率的最小值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD=2,∠DAB=60°,PA=PC=2,且平面ACP⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證:CB⊥PD;
(Ⅱ)求二面角C-PB-A的余弦值.
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【題目】已知點為橢圓上任意一點,直線與圓交于兩點,點為橢圓的左焦點.
(Ⅰ)求橢圓的離心率及左焦點的坐標(biāo);
(Ⅱ)求證:直線與橢圓相切;
(Ⅲ)判斷是否為定值,并說明理由.
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【題目】已知拋物線:的焦點為,點在上且其橫坐標(biāo)為1,以為圓心、為半徑的圓與的準(zhǔn)線相切.
(1)求的值;
(2)過點的直線與交于,兩點,以、為鄰邊作平行四邊形,若點關(guān)于的對稱點在上,求的方程.
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【題目】《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題:齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬,現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹馬進行一場比賽,齊王獲勝的概率是( )
A. B. C. D.
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【題目】(1)兩個共軛復(fù)數(shù)的差是純虛數(shù);(2)兩個共軛復(fù)數(shù)的和不一定是實數(shù);(3)若復(fù)數(shù)是某一元二次方程的根,則是也一定是這個方程的根;(4)若為虛數(shù),則的平方根為虛數(shù),其中正確的個數(shù)為 ( )
A.3B.2C.1D.0
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【題目】以直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點P的直角坐標(biāo)為,點M的極坐標(biāo)為,若直線l過點P,且傾斜角為,圓C以M為圓心,1為半徑.
(1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程.
(2)設(shè)直線l與圓C相交于AB兩點,求.
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【題目】從拋物線上任意一點P向x軸作垂線段,垂足為Q,點M是線段上的一點,且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線與軌跡c交于兩點,T為C上異于的任意一點,直線,分別與直線交于兩點,以為直徑的圓是否過x軸上的定點?若過定點,求出符合條件的定點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.
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