Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-|x+3|，a∈R．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，解不等式f（x）≤1；
（2）不等式f（x）≤4在x∈[-2，3]時(shí)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=-1代入f（x），通過(guò)討論x的范圍，得到不等式組，解出即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為-7≤a≤2x+7在x∈[-2，3]時(shí)恒成立，而2x+7在x∈[-2，3]的最小值是3，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-1時(shí)，f（x）=|x+1|-|x+3|≤1，
?$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-x-1+x+3≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜-1}\\{-x-1-x-3≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x+1-x-3≤1}\end{array}\right.$，
解得：x≤-1；
（2）∵x∈[-2，3]，
∴x+3＞0，
∴不等式f（x）≤4在x∈[-2，3]時(shí)恒成立，
?|x-a|≤x+7在x∈[-2，3]時(shí)恒成立，
?-（x+7）≤x-a≤x+7在x∈[-2，3]時(shí)恒成立，
?-x-7-x≤-a≤7在x∈[-2，3]時(shí)恒成立，
?-7≤a≤2x+7在x∈[-2，3]時(shí)恒成立，
而2x+7在x∈[-2，3]的最小值是3，
∴-7≤a≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．