Question

15．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）過點(diǎn)（{2，\sqrt{2}}）$，其焦點(diǎn)在⊙O：x²+y²=4上，A，B是橢圓的左右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）M，N分別是橢圓C和⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（M，N不在y軸同側(cè)），且直線MN與y軸垂直，直線AM，BM分別與y軸交于點(diǎn)P，Q，求證：PN⊥QN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得焦點(diǎn)為（±2，0），可得c=2，由點(diǎn)滿足橢圓方程，即可得到所求方程；
（Ⅱ）令M（m，t），N（n，t），（m＜0，n＞0），可得m²+2t²=8，n²+t²=4，設(shè)P（0，p），Q（0，q），運(yùn)用三點(diǎn)共線，可得p，q，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，化簡整理即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得焦點(diǎn)為（±2，0），
可得c=2，即a²-b²=4，
又$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）證明：令M（m，t），N（n，t），（m＜0，n＞0），
可得m²+2t²=8，n²+t²=4，
可得A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0），
設(shè)P（0，p），Q（0，q），
由A，M，P三點(diǎn)共線可得k_AM=k_AP，
即有$\frac{t}{m+2\sqrt{2}}$=$\frac{p}{2\sqrt{2}}$，可得p=$\frac{2\sqrt{2}t}{m+2\sqrt{2}}$；
由B，M，Q三點(diǎn)共線可得k_BM=k_BQ，
即有$\frac{t}{m-2\sqrt{2}}$=$\frac{q}{-2\sqrt{2}}$，可得q=$\frac{-2\sqrt{2}t}{m-2\sqrt{2}}$．
由k_PN•k_QN=$\frac{t-\frac{2\sqrt{2}t}{m+2\sqrt{2}}}{n}$•$\frac{t-\frac{-2\sqrt{2}t}{m-2\sqrt{2}}}{n}$
=$\frac{{m}^{2}{t}^{2}}{{n}^{2}（{m}^{2}-8）}$，
由m²+2t²=8，n²+t²=4，可得m²-8=-2t²，
n²=4-t²，m²=2（4-t²），即為m²=2n²，
可得$\frac{{m}^{2}{t}^{2}}{{n}^{2}（{m}^{2}-8）}$=$\frac{2{t}^{2}}{-2{t}^{2}}$=-1，
即有PN⊥QN．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．